数论
要点拨
主要包含了数的整除、质数合数、约数倍数、余数和数位进制、最大公因数和最小公倍数，与平均数的计算等问题。
例题精讲
【例题 1】A = 2×3×7，B = 2×5×7 A 和 B 的最大公约数是（ ），最小公倍数是（ ）。
【答案】A = 2×3×7，B = 2×5×7
A 和 B 公有些质因数是 2 和 7，A 独有些质因数是 3，B 独有些质因数是 5，那样 A 和 B 的最大公因数是：2×7=14，
A 和 B 的最小公倍数是：2×7×3×5=210 故答案为：14,210
【例题 2】A、B、C 三个互相咬合的齿轮，若 A 轮转 3 圈、B 轮转 7 圈、C 轮转 2 圈，那样这三个齿轮的齿数最少是 A 轮（ ）齿，B 轮
（ ）齿，C 轮（ ）齿。
【答案】3、7、2 三个数两两互质，它们的最小公倍数是它们的乘积： 3×7×2=42，
即三个齿轮转过的总齿数是 42，
A 为：42÷3=14（齿）； B：42÷7=6（齿）；
C：42÷2=21（ 齿 ）； 故答案为：14，6，21．
【例题 3】a=2×3×m，b=3×5×m（m 是自然数且≠0），假如 a 和 b 的最大公约数是 21，则 m 是（ ），此时 a 和 b 的最小公倍数 是 （ ） 。
【答案】a=2×3×m，b=3×5×m，
a 和 b 的最大公约数是 21=3×7=3×m， 所以 m=7；
a 和 b 的最小公倍数是 2×3×5×7=210 故答案为：7；210
【例题 4】一个两位数除以 5 余 3，除以 7 余 5，这个两位数最大是
（ ）
（A）72 （B）37 （C）68 （D）33
【答案】第一找出 5 的倍数
5,10,15,20,25,30…尾数都是 0 或 5 的整数, 而这个数应该是:
8,13,18,23,28,33…尾数都是 3 或 8 的整数; 满足状况的只有答案 C 或 D,
而 7×9+5=68 满足题意. 故:答案选择 C
举一反三
【变式 1】假如 A=60，B=42，那样 A、B 的最大公因数是（ ）， 最小公倍数是（ ）。
【答案】借助短除法，A、B 的最大公因数是（ 6 ），最小公倍数是（ 420 ）。
【变式 2】把 3/7 化成循环小数是 0.428571428571……，这个循环小数的小数部分第 50 位上的数字是（ ）。
【答案】3/7 =0.428571428571…，循环节为 428571，有 6 位数字，
由于 50÷6=8…2，循环节中第二个数是 2，
所以这个循环小数的小数部分第 50 位上的数字是 2． 故答案为：2．
【变式 3】甲乙丙三个数的平均数是 5.2,甲乙两个数的平均数是 6.2， 丙数是（ ）
【答案】解：
甲+乙+丙=5.2×3=15.6 甲+乙=6.2×2=12.4
丙=15.6-12.4=3.2
故：丙是 3.2
